Երկրաչափություն

AC հատվածը կոչվում է A կետից a ուղղին տարված ուղղահայաց, եթե AC և a ուղիղները ուղղահայաց են:

Ուղղին չպատկանող կետից կարելի է ուղղին տանել ուղղահայաց, ընդ որում՝ միայն մեկը:

Ապացուցենք, որ BC ուղղին չպատկանող A կետից կարելի է տանել ուղղահայաց այդ ուղղին:  

Դիցուք, տրված է∡ABC անկյունը:

BC ճառագայթի մյուս կողմից տեղադրենք անկյուն, որը հավասար է տրվածին և վերադրենք երկու անկյունները (պատկերացնենք, թե անկյունները թղթի վրա են, և ծալենք թուղթը BC կողմի երկայնքով):

BA կողմը կհամընկնի BA1 կողմի հետ: Ընդ որում, A կետը կհամընկնի որևէ A1 կետի հետ:

Հետևաբար, համընկում են ∡ACB և∡A1CB անկյունները:

Բայց ∡ACB և∡A1CB անկյունները կից են, ուրեմն՝ դրանք երկուսն էլ ուղիղ են:

AA1 ուղիղը ուղղահայաց է BC ուղղին, իսկ AC հատվածը հանդիսանում է ուղղահայաց՝ տարված A կետից BC ուղղին: 

Եթե ենթադրենք, որ A կետից կարելի է տանել ևս մեկ ուղղահայաց BC ուղղին, ապա այն կգտնվի մի ուղղի վրա, որը կհատվի AA1-ի հետ: Բայց, նույն ուղղին ուղղահայաց ուղիղները զուգահեռ են և չեն կարող հատվել: 

Այս հակասությունը նշանակում է, որ տրված կետից ուղղին կարելի է տանել միայն մեկ ուղղահայաց:

Եռանկյան գագաթը հանդիպակաց կողմի միջնակետի հետ միացնող հատվածը կոչվում է եռանկյան միջնագիծ:

Ուստի միջնագծի կառուցման համար պետք է կատարել հետևյալ գործողությունները:

1. Գտնել կողմի միջնակետը:

2. Միացնել այդ միջնակետը հանդիպակաց գագաթի հետ: Հենց դա կլինի եռանկյան միջնագիծը:

Եռանկյունն ունի երեք կողմ, հետևաբար՝ կարելի է կառուցել երեք միջնագիծ:

Բոլոր միջնագծերը հատվում են նույն կետում:

Եռանկյան կիսորդ կոչվում է եռանկյան անկյան կիսորդի վրա գտնվող այն հատվածը, որը միացնում է եռանկյան գագաթը հանդիպակաց կողմի վրա գտնվող կետի հետ:  

Ուստի, կիսորդի կառուցման համար պետք է կատարել հետևյալ գործողությունները՝

1. Կառուցել եռանկյան որևէ անկյան կիսորդը (անկյան կիսորդը անկյան գագաթից դուրս եկող ճառագայթ է, որը կիսում է անկյունը):
2. Գտնել անկյան կիսորդի հատման կետը հանդիպակաց կողմի հետ:
3. Միացնել գտնված կետը հանդիպակաց գագաթի հետ: Հենց դա կլինի եռանկյան կիսորդը:

Եռանկյունն ունի երեք անկյուն, հետևաբար՝ կարելի է կառուցել երեք կիսորդ:

Եռանկյան բոլոր կիսորդները հատվում են նույն կետում:

Եռանկյան գագաթից հանդիպակաց կողմը պարունակող ուղղին տարված ուղղահայացը կոչվում է եռանկյան բարձրություն:

Ուստի, բարձրության կառուցման համար պետք է կատարել հետևյալ գործողություները՝

1. Տանել եռանկյան կողմը պարունակող ուղիղը (կարևոր է այն դեպքում, եթե բարձրությունն իջեցնում ենք բութանկյուն եռանկյան սուր անկյունից):
2. Տարված ուղղի հանդիպակաց գագաթից իջեցնենք ուղղահայաց այդ ուղղին (ուղղահայացը եռանկյան գագաթից տարված հատված է, որը կազմում է հանդիպակաց կողմի հետ 90°-ի անկյուն): Հենց դա կլինի եռանկյան բարձրությունը:  

Միջնագծերի և կիսորդների պես եռանկյունն ունի երեք բարձրություն:

Եռանկյան բոլոր բարձրությունները հատվում են նույն կետում:

Որոշ եռանկյունների համար բարձրությունների կառուցումը և դրանց հատման կետերի դիրքերը տարբերվում են:

Ուղիղ անկյուն ունեցող եռանկյան մեջ ուղիղ անկյուն առաջացնող կողմերը եռանկյան բարձրություններն են, քանի որ դրանք փոխուղղահայաց են: Այս դեպքում բարձրությունների հատման կետը փոխուղղահայաց կողմերի ընդհանուր գագաթն է:

Եթե եռանկյունն ունի բութ անկյուն, ապա սուր անկյուններից իջեցված բարձրությունները դուրս են գալիս եռանկյունից՝ դեպի շարունակված կողմերը: Բարձրությունները պարունակող ուղիղներն այս դեպքում հատվում են եռանկյունից դուրս:

Հավասարասրուն եռանկյուն

Եռանկյունը կոչվում է հավասարասրուն, եթե նրա երկու կողմերը հավասար են: Հավասարասրուն եռանկյան հավասար կողմերը կոչվում են սրունքներ, իսկ երրորդ կողմը՝ հիմք: 

AB=BC՝ սրունքներ, AC՝ հիմք

Եթե եռանկյան բոլոր երեք կողմերը հավասար են, ապա եռանկյունը կոչվում է հավասարակողմ:

Հավասարասրուն եռանկյունն ունի որոշ հատկություններ, որոնք այլ եռանկյուններ չունեն:

1. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին առընթեր անկյունները հավասար են:

2. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված կիսորդը նաև միջնագիծ է և բարձրություն:

3. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված միջնագիծը նաև կիսորդը է և բարձրություն:

4. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված բարձրությունը նաև կիսորդ է և միջնագիծ:

Դիտարկենք AC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյունը և ապացուցենք, որ ΔABD=ΔCBD

Դիցուք BD-ն ABC եռանկյան կիսորդն է: Եռանկյունների հավասարության առաջին հայտանիշից եզրակացնում ենք, որ ΔABD=ΔCBD (AB=BC ըստ պայմանի, BD-ն ընդհանուր կողմ է, ∡ABD=∡CBD, քանի որ BD-ն կիսորդ է):

Հավասար եռանկյունների բոլոր համապատասխան մեծությունները հավասար են:

1. ∡A=∡C՝ ապացուցված է, որ հիմքին առընթեր անկյունները հավասար են:

2. AD=DC՝ ապացուցված է, որ կիսորդը նաև միջնագիծ է:

3. ∡ADB=∡CDB՝ որպես կից անկյուններ, որոնց գումարը հավասար է 180°-ի:

Ուստի, դրանցից յուրաքանչյուրը հավասար է 90°-ի, ինչը նշանակում է, որ միջնագիծը նաև բարձրություն է:

Առաջադրանք՝ 

120.Պատ․՝12 սմ, 12 սմ, 21 սմ

121.Պատ․՝AB=12,5 սմ

BC=15 սմ

122.Պատ․՝8սմ