Ըստ գծագրերի տվյալների որոշել անհայտները․
1)3√2
2)8
3)3√2
4)6
S=6×8÷2=24
5)√136
6)a√3
Ըստ գծագրերի տվյալների որոշել անհայտները․
1)3√2
2)8
3)3√2
4)6
S=6×8÷2=24
5)√136
6)a√3
ա)6×4=24
բ)6×3=18
4×3=12
5×3=15
3×4,5=13,5
15+15=30
13,5+13,5=27
30+27=57
57÷9,5=6
2×2=4
200×20=4000
100×20=2000
4000+2000×2=12000
12000÷4=3000
12000+20000=32000
320000÷4=8000
Ուղղանկյունանիստի մակերևույթը բաղկացած է 6 ուղղանկյունաձև նիստերից՝ 4 կողմնային նիստերից և 2 հիմքերից:
Հանդիպակաց նիստերն իրար հավասար են, հետևաբար հավասար են նաև նրանց մակերեսները:
Ուղղանկյունանիստի լրիվ մակերևույթի մակերեսը հավասար է նրա բոլոր նիստերի մակերեսների գումարին:
Ուստի, այն հաշվվում է հետևյալ բանաձևով՝
Sլրիվ=Sկողմն+2⋅Sհիմք
Վերևի նկարից երևում է, որ (հանդիպակաց նիստերը հավասար են)
Sկողմն=2ac+2bc
Sհիմք=ab
Գումարելով այս բանաձևերը (հաշվի առնելով, որ ուղղանկյունանիստն ունի 2 հիմք), ստանում ենք ուղղանկյունանիստի լրիվ մակերևույթի մակերեսի բանաձևը՝
Sլրիվ=2⋅(ab+ac+bc),
որտեղ a-ն, b-ն և c-ն ուղղանկյունանիստի չափումներն են:
Ուղղանկյունանիստը, որի բոլոր կողերը հավասար են, կոչվում է խորանարդ:
Խորանարդի նիստերը իրար հավասար 6 քառակուսիներ են (a=b=c)
Խորանարդի դեպքում լրիվ մակերևույթի մակերեսի բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը․
S=6a2
Առաջադրանքներ․
1.Հաշվիր խորանարդի լրիվ մակերևույթի մակերեսը, եթե նրա կողը 2,1 սմ է:
2,1×2,1=4,41
4,41×6=26,46
2.Գտեք այն խորանարդի նիստի մակերեսը,որի մակերևույթի մակերեսը հավասար է 24սմ2 :Կարո՞ղ եք գտնել այդ խորանարդի կողը։
24÷6=4
4÷2=2
3.Ուղղանկյունանիստի հիմքը a=6սմ և b=7սմ կողմերով ուղղանկյուն է, իսկ կողմնային կողը՝ c=8սմ։ Գտեք այդ ուղղանկյունանիստի`
ա) հիմքի մակերեսը
6×7=42
բ) կողմնային մակերևույթի մակերեսը
2×48+2×56=208
գ) լրիվ մակերևույթի մակերեսը․
42×2+208=292
4. Ուղղանկյունանիստի հիմքը 8 սմ կողմով քառակուսի է, իսկ կողմնային մակերևույթի մակերեսը հավասար է 112 սմ2 ։ Գտեք ուղղանկյունանիստի լրիվ մակերևույթի մակերեսը։
Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․
1.Հաշվիր խորանարդի լրիվ մակերևույթի մակերեսը, եթե նրա կողը 3,5 մ է:
3,5×3,5=12,25
12,25×6=73,5
2.Գտեք այն խորանարդի նիստի մակերեսը, որի լրիվ մակերևույթի մակերեսը հավասար է 150 դմ2 :Կարո՞ղ եք գտնել այդ խորանարդի կողը։
3. Ուղղանկյունանիստի հիմքը 24 սմ պարագծով քառակուսի է, իսկ կողմնային կողը հավասար է 5,5 սմ։ Գտեք այդ ուղղանկյունանիստի
ա) կողմնային մակերևույթի մակերեսը
բ) լրիվ մակերևույթի մակերեսը
Սեղանի մակերեսը հավասար է հիմքերի կիսագումարի և բարձրության արտադրյալին:
S=1/2(AD+BC)BH
Առաջադրանքներ․
1.ABCD սեղանի AD և BC հիմքերը համապատասխանաբար 10սմ և 8 սմ են: ACD եռանկյան մակերեսը 30սմ2 է: Գտեք սեղանի մակերեսը:
S=30սմ^2
S=8+10/2
30սմ^2=h×10/2
30/5=6
h=6
6×9=54
2.Ուղղանկյուն սեղանի մակերեսը 30սմ2 է, պարագիծը՝ 28սմ, իսկ փոքր սրունքը՝ 3սմ: Գտեք սեղանի մեծ սրունքը:
BC+AD/2×3=30սմ^2
30÷3÷2=5
3.Գտեք այն ուղղանկյուն սեղանի մակերեսը, որի փոքր կողմերը 6սմ են, իսկ մեծ անկյունը՝ 135o:
12+6÷2×6=54
Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․
1.Գտեք AD և BC հիմքերով ABCD սեղանի մակերեսը, եթե՝
ա) AD=21սմ, BC=17սմ, BH բարձրությունը 7սմ է,
բ) <D=30o, AD=10սմ, BC=2սմ, CD=8սմ,
գ) CD⊥AD, AD=5սմ, CD=8սմ, BC=13սմ:
2.Հավասարասրուն սեղանի պարագիծը 32սմ է, սրունքը՝ 5սմ, իսկ մակերեսը՝ 44սմ2: Գտեք սեղանի բարձրությունը:
3.Հավասարասրուն սեղանի բութ անկյունը 135o է, իսկ այդ անկյան գագաթից տարված բարձրությունը մեծ հիմքը տրոհում է 1,4սմ և 3,4սմ հատվածների։ Գտեք սեղանի մակերեսը։
Տեսական մասը կրկնեք այստեղ․
1)
1:2
2)
8դմ2
3)
a2+b2=100
2a2=100
a2=50
a×a/2=a2/2=50/2=25
4)
4×12=48/2=24
5)
18÷6=3
12÷6=2
3:2
Եռանկյան մակերեսը հավասար է հիմքի և բարձրության արտադրյալի կեսին:
Դիտարկենք ABC եռանկյունը, որում տարված է BH բարձրությունը:
S=1/2AC⋅BH
Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը հավասար է նրա էջերի արտադրյալի կեսին։
Եթե երկու եռանկյունների բարձությունները հավասար են,ապա նրանց մակերեսները հարաբերում են ինչպես հիմքերը։
Առաջադրանքներ․
1)
ա)7×11÷2=38,5
բ)37,8×2÷14=5,4
գ)a=2h
2)
8
3)
9×2÷3,2=5,625
4)
ա)4×11÷2=22
բ)12×30÷2=180
5)
14×14÷2=98
Տեսական մասը կրկնեք այստեղ․
Առաջադրանքներ․
1)Զուգահեռագծի սուր անկյունը 30օ է, իսկ բութ անկյան գագաթից տարված բարձրությունները հավասար են 2 սմ և 3 սմ։ Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը։
4×3=7
2)Գտեք զուգահեռագծի անկյունները, եթե նրա մակերեսը 40 սմ2 է, իսկ կողմերը՝ 10 սմ և 8 սմ։
3)Քառակուսին և քառակուսի չհանդիսացող շեղանկյունն ունեն հավասար պարագծեր։ Համեմատեք այդ պատկերների մակերեսները։
4)Գտեք զուգահեռագծի անկյունները, եթե նրա մակերեսը 20 սմ2 է, իսկ բութ անկյան գագաթից կողմերից մեկին տարված բարձրությունը այդ կողմը տրոհում է 2 սմ և 8 սմ երկարությամբ հատվածների՝ սկսած սուր անկյան գագաթից։
Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․
1)Համեմատեք ուղղանկյան և զուգահեռագծի մակերեսները, եթե նրանք ունեն հավասար հիմքեր և հավասար պարագծեր։
2)ABCD զուգահեռագծի B անկյունը բութ է։ AD կողմի շարունակության վրա՝ D կետից դեպի աջ նշված է E կետն այնպես, որ <ECD = 60o, <CED = 90o, AB = 4 սմ, AD = 10 սմ։ Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը։
3)MPKT զուգահեռագծի MT կողմի վրա նշված է E կետը, <PEM = 90o , <EPT = 45o , ME = 4 սմ, ET = 7 սմ։ Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը։
Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է նրա կողմի և նրան տարված բարձրության արտադրյալին:
Զուգահեռագծի բարձրությունը ուղղահայացն է, որը տարված է զուգահեռագծի կողմի ցանկացած կետից դեպի հանդիպակաց կողմը պարունակող ուղիղը:
Սովորաբար ուղղահայացը տանում են զուգահեռագծի գագաթից: Քանի որ զուգահեռագիծն ունի տարբեր երկարությամբ կողմերի երկու զույգ, ապա այն ունի տարբեր երկարությամբ երկու բարձրություն:
BE բարձրությունը, որը տարված է երկու մեծ կողմերի միջև ավելի կարճ է, քան BF-ը, որը տարված է կարճ կողմերի միջև:
Եթե a-ով նշանակել կողմը, իսկ h-ով բարձրությունը, ապա՝
Sզուգահեռագիծ=a⋅h
Շեղանկյան մակերեսը․
Շեղանկյան անկյունագծերը փոխուղղահայաց են և հատման կետով կիսվում են: Շեղանկյունը բաժանվում է չորս հավասար ուղղանկյուն եռանկյունների:
Շեղանկյան մակերեսի բանաձևը․
Sշեղանկյուն=d1⋅d2/2
Առաջադրանքներ․
1)Դիցուք՝ զուգահեռագծի հիմքը a-ն է, բարձրությունը՝ h-ը, իսկ մակերեսը՝ S-ը։ Գտեք՝
ա)S-ը, եթե a=15 սմ, h=12 սմ
15×12=180
S=180
բ)a-ն, եթե S=34 սմ2 , h=8,5 սմ
34÷8,5=4
a=4
գ)h-ը, եթե S=162 սմ2, a=9 սմ
162÷9=18
h=18
դ)a-ն, եթե h=1/2a, S=21a
21×1/2=42
a=42
2)Զուգահեռագծի անկյունագիծը 13 սմ է և ուղղահայաց է զուգահեռագծի այն կողմին, որը 12 սմ է։ Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը։
13×12=156
3)Զուգահեռագծի կից կողմերը հավասար են 12 սմ և 13 սմ, իսկ սուր անկյունը 30o է։ Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը։
6×13=78
4)Շեղանկյան կողմը 6 սմ է, իսկ անկյուններից մեկը՝ 150o ։ Գտեք շեղանկյան մակերեսը։
3×6=18
5)Զուգահեռագծի կողմը 8,1 սմ է, իսկ 14 սմ-ի հավասար անկյունագիծը նրա հետ կազմում է 30o անկյուն։ Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը։
6)Դիցուք՝ a-ն և b-ն զուգահեռագծի կից կողմերն են, իսկ h1-ը և h2 -ը՝ բարձրությունները։ Գտեք՝
ա)h2 -ը, եթե a=18 սմ, b=30 սմ, h1 = 6 սմ, h2 > h1
բ)h1 -ը, եթե a=10 սմ, b=15 սմ, h2 =6 սմ, h2 > h1
գ)h1 -ը և h2 -ը, եթե մակերեսը՝ S=54 սմ2 , a=4,5 սմ, b=6 սմ
Քառակուսու մակերեսը հավասար է նրա երկու կողմերի արտադրյալին: Քառակուսու բոլոր կողմերը իրար հավասար են, այդ իսկ պատճառով նրա մակերեսը հավասար է նրա կողի քառակուսուն:
Ուղղանկյան մակերեսը հավասար է նրա կից կողմերի արտադրյալին:
Մակերեսները չափելու համար օգտվում են նրանց հիմնական հատկություններից:
1. Հավասար բազմանկյունների մակերեսները հավասար են:
2. Եթե պատկերը կազմված է մի քանի մասերից, ապա նրա մակերեսը հավասար է այդ մասերի մակերեսների գումարին:
Առաջադրանքներ․
1)Գտեք քառակուսու մակերեսը, եթե նրա կողմը հավասար է՝
ա)1,2 սմ
1,44սմ
բ)3/4 դմ
9/16դմ
գ)3ամբ․1/3 մ
100/3մ
2)Ինչպե՞ս կփոխվի քառակուսու մակերեսը, եթե նրա կողմերը՝
ա)մեծացվեն 3 անգամ
3×3=9
Կմեծանա 9 անգամ
բ)փոքրացվեն 2 անգամ
2×2=4
Կփոքրանա 4 անգամ
3)Ուղղանկյան կից կողմերը հարաբերում են, ինչպես 4:3, իսկ նրա պարագիծը 28 սմ է։ Գտեք այդ ուղղանկյան մակերեսը։
4x+4x+3x+3x=28
14x=28
x=2
4x=2×4=8
3x=3×2=6
s=8×6=48
Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․
1)Որոշեք այն քառակուսու կողմը, որի մակերեսը հավասար է՝
ա)16 սմ2
a=16սմ2
a=4
բ)25 սմ2
a=26սմ2
a=5
գ)2,25 սմ2
a=2,25սմ2
a=1,5
2)Դիցուք՝ ուղղանկյան կից կողմերն են a-ն b-ն, իսկ մակերեսը՝ S-ը։ Գտեք՝
ա)S-ը, եթե a=8,5 սմ, b=3,2 սմ
8,5×3,2=27,2
բ)S-ը a=2/3 սմ, b=1,2սմ
գ)b- ն, եթե a=32 սմ, S=684 սմ2
դ)a-ն, եթե b=4,5 դմ, S=1215 սմ2
3)Ուղղանկյան կողմերից մեկը 12 սմ է, իսկ մակերեսը՝ 96 սմ2։ Գտեք այդ ուղղանկյան պարագիծը։
Կոնը կարելի է ստանալ՝ պտտելով POA ուղղանկյուն եռանկյունը իր էջերից որևէ մեկի, օրինակ՝ PO-ի շուրջ: Նույն կոնը կստացվի, եթե APB հավասարասրուն եռանկյունը պտտենք PO բարձրության շուրջ:
PO ուղիղը կոչվում է կոնի առանցք, որը պարունակում է կոնի H բարձրությունը:
Կոնի առանցքային հատույթը, որը անցնում է նրա գագաթով, հանդիսանում է PA և PB սրունքներով հավասարասրուն եռանկյուն: PA-ն և PB-ն կոչվում են կոնի ծնորդներ և նշանակվում են l տառով:
Եռանկյան պտույտից առաջացած O կենտրոնով շրջանը կոչվում է կոնի հիմք:
Կոնի շառավիղ կոչվում է նրա հիմքի R=OA=OB շառավիղը:
Առաջադրանքներ․
1)30o անկյուն ունեցող ուղղանկյուն եռանկյունը պտտվում է մեծ էջի շուրջը։ Գտեք պտտումից առաջացած կոնի ծնորդը, եթե այդ կոնի շառավիղը 15 սմ է:
R=15
l=2×15=30
2)Կոնի առանցքային հատույթը 12 սմ կողմով հավասարակողմ եռանկյուն է։ Որոշեք այդ կոնի շառավիղն ու ծնորդը։
Ծնորդը=12
Շառավիղը=6
3)Կոնի առանցքային հատույթը հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյուն է, որի ներքնաձիգը 20 սմ է։ Գտեք այդ կոնի շառավիղը։
Շառավիղը=10